Numpy（科学计算包）- 【线性代数 】

NumPy  提供了线性代数函数库 linalg，该库包含了线性代数所需的所有功能，可以看看下面的说明：

函数	描述
dot	两个数组的点积，即元素对应相乘。
vdot	两个向量的点积
inner	两个数组的内积
matmul	两个数组的矩阵积
determinant	数组的行列式
solve	求解线性矩阵方程
inv	计算矩阵的乘法逆矩阵

numpy.dot()

numpy.dot() 对于两个一维的数组，计算的是这两个数组对应下标元素的乘积和(数学上称之为向量点积)；对于二维数组，计算的是两个数组的矩阵乘积；对于多维数组，它的通用计算公式如下，即结果数组中的每个元素都是：数组a的最后一维上的所有元素与数组b的倒数第二位上的所有元素的乘积和： dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] * b[k,:,m])。

1. numpy.dot(a, b, out=None)

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参数说明：

    a : ndarray 数组
    b : ndarray 数组
    out : ndarray, 可选，用来保存dot()的计算结果

实例

1. import numpy.matlib
   
2. import numpy as np
   
3. 
   
4. a = np.array([[1,2],[3,4]])
   
5. b = np.array([[11,12],[13,14]])
   
6. print(np.dot(a,b))

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输出结果为：

1. [[37  40]
   
2. [85  92]]

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计算式为：

1. [[1*11+2*13, 1*12+2*14],[3*11+4*13, 3*12+4*14]]

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numpy.vdot()

numpy.vdot() 函数是两个向量的点积。 如果第一个参数是复数，那么它的共轭复数会用于计算。 如果参数是多维数组，它会被展开。

实例

1. import numpy as np
   
2. 
   
3. a = np.array([[1,2],[3,4]])
   
4. b = np.array([[11,12],[13,14]])
   
5. 
   
6. # vdot 将数组展开计算内积
   
7. print (np.vdot(a,b))

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输出结果为：

1. 130

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计算式为：

1. 1*11 + 2*12 + 3*13 + 4*14 = 130

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numpy.inner()

numpy.inner() 函数返回一维数组的向量内积。对于更高的维度，它返回最后一个轴上的和的乘积。

实例

1. import numpy as np
   
2. 
   
3. print (np.inner(np.array([1,2,3]),np.array([0,1,0])))
   
4. # 等价于 1*0+2*1+3*0

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输出结果为：

1. 2

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多维数组实例

1. import numpy as np
   
2. a = np.array([[1,2], [3,4]])
   
3. 
   
4. print ('数组 a：')
   
5. print (a)
   
6. b = np.array([[11, 12], [13, 14]])
   
7. 
   
8. print ('数组 b：')
   
9. print (b)
   
10. 
    
11. print ('内积：')
    
12. print (np.inner(a,b))

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输出结果为：

1. 数组 a：
   
2. [[1 2]
   
3. [3 4]]
   
4. 数组 b：
   
5. [[11 12]
   
6. [13 14]]
   
7. 内积：
   
8. [[35 41]
   
9. [81 95]]
   
10. 数组 a：
    
11. [[1 2]
    
12. [3 4]]
    
13. 数组 b：
    
14. [[11 12]
    
15. [13 14]]
    
16. 内积：
    
17. [[35 41]
    
18. [81 95]]

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内积计算式为：

1. 1*11+2*12, 1*13+2*14
   
2. 3*11+4*12, 3*13+4*14

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numpy.matmul

numpy.matmul 函数返回两个数组的矩阵乘积。 虽然它返回二维数组的正常乘积，但如果任一参数的维数大于2，则将其视为存在于最后两个索引的矩阵的栈，并进行相应广播。

另一方面，如果任一参数是一维数组，则通过在其维度上附加 1 来将其提升为矩阵，并在乘法之后被去除。

对于二维数组，它就是矩阵乘法：

实例

1. import numpy.matlib
   
2. import numpy as np
   
3. 
   
4. a = [[1,0],[0,1]]
   
5. b = [[4,1],[2,2]]
   
6. print (np.matmul(a,b))

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输出结果为：

1. [[4  1]
   
2. [2  2]]

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二维和一维运算：

实例

1. import numpy.matlib
   
2. import numpy as np
   
3. 
   
4. a = [[1,0],[0,1]]
   
5. b = [1,2]
   
6. print (np.matmul(a,b))
   
7. print (np.matmul(b,a))

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输出结果为：

1. [1  2]
   
2. [1  2]

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维度大于二的数组 ：

实例

1. import numpy.matlib
   
2. import numpy as np
   
3. 
   
4. a = np.arange(8).reshape(2,2,2)
   
5. b = np.arange(4).reshape(2,2)
   
6. print (np.matmul(a,b))

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输出结果为：

1. [[[ 2  3]
   
2.   [ 6 11]]
   
3. 
   
4. [[10 19]
   
5.   [14 27]]]

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numpy.linalg.det()

numpy.linalg.det() 函数计算输入矩阵的行列式。

行列式在线性代数中是非常有用的值。 它从方阵的对角元素计算。 对于 2×2 矩阵，它是左上和右下元素的乘积与其他两个的乘积的差。

换句话说，对于矩阵[[a，b]，[c，d]]，行列式计算为 ad-bc。 较大的方阵被认为是 2×2 矩阵的组合。

实例

1. import numpy as np
   
2. a = np.array([[1,2], [3,4]])
   
3. 
   
4. print (np.linalg.det(a))

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输出结果为：

1. -2.0

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实例

1. import numpy as np
   
2. 
   
3. b = np.array([[6,1,1], [4, -2, 5], [2,8,7]])
   
4. print (b)
   
5. print (np.linalg.det(b))
   
6. print (6*(-2*7 - 5*8) - 1*(4*7 - 5*2) + 1*(4*8 - -2*2))

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输出结果为：

1. [[ 6  1  1]
   
2. [ 4 -2  5]
   
3. [ 2  8  7]]
   
4. -306.0
   
5. -306

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numpy.linalg.solve()

numpy.linalg.solve() 函数给出了矩阵形式的线性方程的解。

考虑以下线性方程：

1. x + y + z = 6
   
2. 
   
3. 2y + 5z = -4
   
4. 
   
5. 2x + 5y - z = 27

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可以使用矩阵表示为：

如果矩阵成为A、X和B，方程变为：

1. AX = B
   
2. 
   
3. 或
   
4. 
   
5. X = A^(-1)B

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numpy.linalg.inv()

numpy.linalg.inv() 函数计算矩阵的乘法逆矩阵。

逆矩阵（inverse matrix）：设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

实例

1. import numpy as np
   
2. 
   
3. x = np.array([[1,2],[3,4]])
   
4. y = np.linalg.inv(x)
   
5. print (x)
   
6. print (y)
   
7. print (np.dot(x,y))

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输出结果为：

1. [[1 2]
   
2. [3 4]]
   
3. [[-2.   1. ]
   
4. [ 1.5 -0.5]]
   
5. [[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
   
6. [8.8817842e-16 1.0000000e+00]]

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现在创建一个矩阵A的逆矩阵:

实例

1. import numpy as np
   
2. 
   
3. a = np.array([[1,1,1],[0,2,5],[2,5,-1]])
   
4. 
   
5. print ('数组 a：')
   
6. print (a)
   
7. ainv = np.linalg.inv(a)
   
8. 
   
9. print ('a 的逆：')
   
10. print (ainv)
    
11. 
    
12. print ('矩阵 b：')
    
13. b = np.array([[6],[-4],[27]])
    
14. print (b)
    
15. 
    
16. print ('计算：A^(-1)B：')
    
17. x = np.linalg.solve(a,b)
    
18. print (x)
    
19. # 这就是线性方向 x = 5, y = 3, z = -2 的解

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输出结果为：

1. 数组 a：
   
2. [[ 1  1  1]
   
3. [ 0  2  5]
   
4. [ 2  5 -1]]
   
5. a 的逆：
   
6. [[ 1.28571429 -0.28571429 -0.14285714]
   
7. [-0.47619048  0.14285714  0.23809524]
   
8. [ 0.19047619  0.14285714 -0.0952381 ]]
   
9. 矩阵 b：
   
10. [[ 6]
    
11. [-4]
    
12. [27]]
    
13. 计算：A^(-1)B：
    
14. [[ 5.]
    
15. [ 3.]
    
16. [-2.]]

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结果也可以使用以下函数获取：

1. x = np.dot(ainv,b)

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