标题:
初談套利 (Arbitrage):天下真有白吃的午餐?
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作者:
龙听
时间:
2019-7-21 15:09
标题:
初談套利 (Arbitrage):天下真有白吃的午餐?
本文摘要:我們首次介紹套利概念,並舉出簡單範例:藉由現金存放與股票買賣所組成的投資組合,複製傳統選擇權買權,並且進行
價差套利。我們指出,資訊的不對稱,往往使得市場上的聰明人真的可以白吃別人的午餐。
金融市場到底有沒有"穩賺"這件事?答案是有的。
所謂穩賺,就是
100%
獲利,保證賺錢。我們通常稱這樣的交易為套利。把利潤套住了,跑都跑不掉,你只需要等待,等待套好到的錢流入你的口袋。
只是套利的發生機會渺茫、獲得的利潤微小,一般投資人不容易發現,就算發現,也可能來不及下單。通常市場上職業級的玩家、法人、計量交易員皆會做類似的套利交易。
我們從最簡單的例子出發,試著敘述套利行為:
有一檔股票
S
。在時間點
t
= 0
時,股價為
100
元。假設未來在時間點
t
= 1
時,有
60%
的機率漲到
120
元;有
40%
的機率跌到
80
元,如圖一左圗所示。
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2019-7-21 15:09
圖一:(左圖)股價二元模式。 (右圖) 到期日為
t
= 1
,履約價為
110
元的買權
簡單的計算可知這是一個很好的投資機會,期望獲利為
120
X
60% +
80
X
40% = 104 > 100
,這是一個
有利賭局(Favorable Game)
。
聰明的讀者可能已經想到,可以使用過去幾週我們討論的
凱利公式(Kelly Formula)
下注。利用凱利公式去計算該買進多少金額的股票,以達到獲利期望值最大化。
凱利賭徒的迷思
沒錯,根據凱利公式,若只是單純的買賣股票,凱利公式或許是你最好的參考工具之一。然而,凱利下注也有缺點,注意到我們討論的是獲利期望值最大化,也就是凱利公式是在相同賭局可以重複玩無限多次的情況下,將獲利最大化的下注方式。若你只是玩一次,然後輸了,那凱利公式可能不是很適合的下注方法。
既然這樣,有沒有方法是在圖一左圗的認知條件下,還可以"保證獲利"呢?我們介紹一種選擇權的套利方法。
考慮圗一右圗選擇權的買權(
Call
),此買權到期日為時間
t
= 1
,履約價為
110
元。換句話說,當
t
= 1
且股價漲到
120
元時,我有權力用
110
元的價位買進當時價值為
120
元的股票,所以此買權的價值為
10 = 120 - 110
(元)。
另一方面,當
t
= 1
且股價跌到
80
元,這時就不要執行買權所賦予的權力。當然,此時的買權價值為
0
。我們假設
X
代表此買權的價值,如圖二所示。
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圖二:選擇權買權在時間點
t
=1
的價值
注意到在圖二裡,我們只知道選擇權在時間點
t
= 1
的價值是多少?在時間點
t
= 0
的價值並不清楚。然而,我們可以從時間點
t
= 1
的買權價值回推。如圖三所示:
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圖三:從履約日選擇權的價值回推在時間點
t
= 0
的價值。
由於股價有
60%
的機率漲到
120
元;
40%
的機率跌到
80
元,換句話說有
60%
的機率此買權的價值為
10
元;有
40%
的機率此買權的價值為
0
元。因此,此買權在時間點
t
= 0
的價值應該為
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換句話說,在時間點
t
= 0
時,此買權的價格"理論上"應該為
6
元。
複製買權
我們是否可以用其他金融商品組合成具有如同圖三相同損益的買權。答案是可行的。用"存放款"跟"買賣股票"就可做到!
我們將
x
元存入銀行,並且買
y
股股票。為了方便計算,假設銀行利率為
R
= 0
。若這樣的投資組合要跟圖三的買權收益一樣(時間點
t
= 1
時的損益),我們可設下面聯立方程式:
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這意思代表,我們要向銀行借
20
元後,再去買
0.25
股的股票。由於在時間點
t
= 0
時股價為
100
元,買
0.25
股需要花
25
元。我們可拿借出來的
20
元,再加上自掏腰包
5
元,即可購買
0.25
股的股票。注意到,做這檔買賣所花的成本只有
5
元。當時間點
t
= 1
,股價來到
120
元時,帳面價值為
10
元,當時間點
t
= 1
且股價跌到
80
元時,帳面價值為
0
元。(如圖四所示)
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圖四:利用存放款與買賣股票何成選擇權買權
如何套利?現在我們有兩項金融商品可做比較。第一項是原來的選擇權買權,履約價為
110
元,在時間點
t
= 0
時價值為
6
元,也就是要買進此買權只需花成本
6
元。第二項為借錢與買股票的投資組合,在時間點
t
= 1
時具有與第一項選擇權相同的損益,但成本只需
5
元。
很直觀的套利行為發生了:在時間點
t
= 0
,若有人願意用
6
元跟你買此檔買權,你就可以進行套利交易。步驟如下:
Step 1.
將圖三的買權用
6
元的價格出售。
Step 2.
將售出買權所獲得的
6
元分成兩部份:5元跟1元。花5元組合出具有同等損益的買權,如圖四左上角。
Step 3.
剩下的1元即為此次套利所獲得的金額。
注意到在
Step 1
賣出的買權已在
Step 2
用組合的方式買回來,因此可視為手上是沒有任何部位的。此次套利所獲得的獎勵即為
Step 3
的
1
元。
為什麼用"獎勵"這樣的字眼?因為套利機會的出現,取決於市場玩家資訊的不對稱。你比別人瞭解的多,你獲得的獎勵(利潤)就多。上述的過程很神奇嗎?我們將在下篇文章裡繼續討論。
星期五;一天一錠,效果一定,歡迎訂閱
「幣圖誌Bituzi電子報」
天底下或許真有白吃的午餐,但在這些白吃的背後,必有其聰明的故事!
仔細去研究,你會發現就是因為他人的"白癡",
造成市場資訊的不對稱,
才讓聰明人有機會可以"白吃"套利!
到底是白吃? 還是白癡?傻傻分不清楚,我們下篇將繼續探討!
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