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龙听 发表于 2019-7-21 15:09

初談套利 (Arbitrage)：天下真有白吃的午餐？

[b]本文摘要：我們首次介紹套利概念，並舉出簡單範例：藉由現金存放與股票買賣所組成的投資組合，複製傳統選擇權買權，並且進行[/b][b]價差套利。我們指出，資訊的不對稱，往往使得市場上的聰明人真的可以白吃別人的午餐。[/b]


[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]金融市場到底有沒有"穩賺"這件事？答案是有的。[/size][/font][/color]

[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]所謂穩賺，就是[b]100%[/b]獲利，保證賺錢。我們通常稱這樣的交易為套利。把利潤套住了，跑都跑不掉，你只需要等待，等待套好到的錢流入你的口袋。[/size][/font][/color]


[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]只是套利的發生機會渺茫、獲得的利潤微小，一般投資人不容易發現，就算發現，也可能來不及下單。通常市場上職業級的玩家、法人、計量交易員皆會做類似的套利交易。[/size][/font][/color]

[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]我們從最簡單的例子出發，試著敘述套利行為：[/size][/font][/color]

[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]有一檔股票[i][b]S[/b][/i]。在時間點 [i][b]t[/b][/i][b] = 0[/b] 時，股價為[b]100[/b]元。假設未來在時間點 [i][b]t [/b][/i][b]= 1[/b]時，有[b]60%[/b]的機率漲到[b]120[/b]元；有[b]40%[/b]的機率跌到[b]80[/b]元，如圖一左圗所示。

[/size][/font][/color]

[table=98%,rgb(251, 251, 251)]
[tr][td][url=http://1.bp.blogspot.com/-D_WtT8ffuIA/UcMn9RbI67I/AAAAAAAAASY/Ie7wlLdF520/s1600/2013-06-21_000329.png][attach]10662[/attach][/url][/td][/tr]
[tr][td]圖一：(左圖)股價二元模式。 (右圖) 到期日為 [i][b]t [/b][/i][b]= 1[/b]，履約價為[b]110[/b]元的買權

[/td][/tr]
[/table][color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]簡單的計算可知這是一個很好的投資機會，期望獲利為[b][font=&quot]120 [/font][font=Calibri, sans-serif]X [/font][font=&quot]60% +[/font][font=&quot]80 [/font][font=Calibri, sans-serif]X [/font][/b][font=&quot][b]40% = 104 > 100[/b]，這是一個[url=http://www.bituzi.com/2013/05/choose-your-game.html]有利賭局(Favorable Game)[/url]。[/font][/size][/font][/color]

[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px][font=&quot]聰明的讀者可能已經想到，可以使用過去幾週我們討論的[/font][url=http://www.bituzi.com/2013/05/blog-post_29.html]凱利公式(Kelly Formula)[/url]下注。利用凱利公式去計算該買進多少金額的股票，以達到獲利期望值最大化。
凱利賭徒的迷思[/size][/font][/color]
[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]沒錯，根據凱利公式，若只是單純的買賣股票，凱利公式或許是你最好的參考工具之一。然而，凱利下注也有缺點，注意到我們討論的是獲利期望值最大化，也就是凱利公式是在相同賭局可以重複玩無限多次的情況下，將獲利最大化的下注方式。若你只是玩一次，然後輸了，那凱利公式可能不是很適合的下注方法。[/size][/font][/color]

[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]既然這樣，有沒有方法是在圖一左圗的認知條件下，還可以"保證獲利"呢？我們介紹一種選擇權的套利方法。[/size][/font][/color]

[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]考慮圗一右圗選擇權的買權([b]Call[/b])，此買權到期日為時間 [i][b]t [/b][/i][b]= 1[/b]，履約價為[b]110[/b]元。換句話說，當[i][b]t [/b][/i][b]= 1[/b]且股價漲到[b]120[/b]元時，我有權力用[b]110[/b]元的價位買進當時價值為[b]120[/b]元的股票，所以此買權的價值為 [b]10 = 120 - 110[/b] (元)。[/size][/font][/color]

[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]另一方面，當 [i][b]t [/b][/i][b]= 1[/b]且股價跌到[b]80[/b]元，這時就不要執行買權所賦予的權力。當然，此時的買權價值為 [b]0[/b]。我們假設 [i][b]X[/b] [/i]代表此買權的價值，如圖二所示。[/size][/font][/color]


[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px][table=98%,transparent]
[tr][td][url=http://4.bp.blogspot.com/-dRwhzxMYW_A/UcMi-W0qpGI/AAAAAAAAASA/ORYU8BG3PBQ/s1600/2013-06-20_234210.png][attach]10663[/attach][/url][/td][/tr]
[tr][td][table=98%,transparent]
[tr][td]圖二：選擇權買權在時間點 [i][b]t [/b][/i][b]=1[/b] 的價值[/td][/tr]
[/table][/td][/tr]
[/table][/size][/font][/color]
[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]注意到在圖二裡，我們只知道選擇權在時間點 [i][b]t [/b][/i][b]= 1[/b] 的價值是多少？在時間點 [i][b]t [/b][/i][b]= 0[/b] 的價值並不清楚。然而，我們可以從時間點 [i][b]t [/b][/i][b]= 1[/b] 的買權價值回推。如圖三所示：[/size][/font][/color]


[table=98%,rgb(251, 251, 251)]
[tr][td][url=http://2.bp.blogspot.com/-AHWeY5c4rMo/UcMjVwUJHyI/AAAAAAAAASI/7LLSlAXIMvU/s1600/2013-06-20_234400.png][attach]10665[/attach][/url][/td][/tr]
[tr][td]圖三：從履約日選擇權的價值回推在時間點 [i][b]t [/b][/i][b]= 0[/b] 的價值。[/td][/tr]
[/table]
[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]由於股價有[/size][/font][/color][b]60%[/b][color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]的機率漲到[/size][/font][/color][b]120[/b][color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]元；[/size][/font][/color][b]40%[/b][color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]的機率跌到[/size][/font][/color][b]80[/b][color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]元，換句話說有[/size][/font][/color][b]60%[/b][color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]的機率此買權的價值為[/size][/font][/color][b]10[/b][color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]元；有[/size][/font][/color][b]40%[/b][color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]的機率此買權的價值為[/size][/font][/color][b]0[/b][color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]元。因此，此買權在時間點 [/size][/font][/color][b][i]t [/i]= 0 [/b][color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]的價值應該為[/size][/font][/color]
[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]
[/size][/font][/color]
[align=center][color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px][url=http://1.bp.blogspot.com/-HZGuupMSrq0/UcKk1bk6OHI/AAAAAAAAAP4/kuJOFh6kSjk/s1600/2013-06-20_144422.png][attach]10668[/attach][/url][/size][/font][/color][/align]

[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]
換句話說，在時間點 [i][b]t [/b][/i][b]= 0 [/b]時，此買權的價格"理論上"應該為[b]6[/b]元。[/size][/font][/color]
[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]複製買權[/size][/font][/color]
[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]我們是否可以用其他金融商品組合成具有如同圖三相同損益的買權。答案是可行的。用"存放款"跟"買賣股票"就可做到![/size][/font][/color]

[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]我們將 [i][b]x [/b][/i]元存入銀行，並且買 [i][b]y [/b][/i]股股票。為了方便計算，假設銀行利率為[b][i]R [/i]= 0[/b]。若這樣的投資組合要跟圖三的買權收益一樣(時間點 [i][b]t [/b][/i][b]= 1[/b]時的損益)，我們可設下面聯立方程式：[/size][/font][/color]
[align=center][color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px][url=http://1.bp.blogspot.com/-nWz6_ymca8s/UcKpj8Wvf8I/AAAAAAAAAQI/OJzTjfAQl_Y/s1600/2013-06-20_150429.png][attach]10670[/attach][/url][/size][/font][/color][/align]
[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]
這意思代表，我們要向銀行借[b]20[/b]元後，再去買[b]0.25[/b]股的股票。由於在時間點 [i][b]t [/b][/i][b]= 0[/b]時股價為[b]100[/b]元，買[b]0.25[/b]股需要花[b]25[/b]元。我們可拿借出來的[b]20[/b]元，再加上自掏腰包[b]5[/b]元，即可購買[b]0.25[/b]股的股票。注意到，做這檔買賣所花的成本只有[b]5[/b]元。當時間點[b] [i]t [/i]= 1[/b]，股價來到[b]120[/b]元時，帳面價值為[b]10[/b]元，當時間點 [i][b]t [/b][/i][b]= 1[/b] 且股價跌到[b]80[/b]元時，帳面價值為[b]0[/b]元。(如圖四所示)

[/size][/font][/color]
[table=98%,rgb(251, 251, 251)]
[tr][td][url=http://2.bp.blogspot.com/-IPtpKLVDWIk/UcKqodlBBvI/AAAAAAAAAQY/CF_c6k5gwWE/s1600/2013-06-20_150902.png][attach]10672[/attach][/url][/td][/tr]
[tr][td]圖四：利用存放款與買賣股票何成選擇權買權[/td][/tr]
[/table]

[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]如何套利？現在我們有兩項金融商品可做比較。第一項是原來的選擇權買權，履約價為[b]110[/b]元，在時間點 [b][i]t [/i]= 0[/b] 時價值為[b]6[/b]元，也就是要買進此買權只需花成本[b]6[/b]元。第二項為借錢與買股票的投資組合，在時間點 [i][b]t [/b][/i][b]= 1[/b]時具有與第一項選擇權相同的損益，但成本只需[b]5[/b]元。

很直觀的套利行為發生了：在時間點 [b][i]t [/i]= 0[/b]，若有人願意用[b]6[/b]元跟你買此檔買權，你就可以進行套利交易。步驟如下：

[b]Step 1.[/b] 將圖三的買權用[b]6[/b]元的價格出售。
[b]Step 2. [/b]將售出買權所獲得的[b]6[/b]元分成兩部份：5元跟1元。花5元組合出具有同等損益的買權，如圖四左上角。
[b]Step 3.[/b] 剩下的1元即為此次套利所獲得的金額。

注意到在[b]Step 1[/b]賣出的買權已在[b]Step 2[/b]用組合的方式買回來，因此可視為手上是沒有任何部位的。此次套利所獲得的獎勵即為[b]Step 3[/b]的[b]1[/b]元。

為什麼用"獎勵"這樣的字眼？因為套利機會的出現，取決於市場玩家資訊的不對稱。你比別人瞭解的多，你獲得的獎勵(利潤)就多。上述的過程很神奇嗎？我們將在下篇文章裡繼續討論。


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[color=#000][font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px]星期五；一天一錠，效果一定，歡迎訂閱[/size][/font][/color][url=http://feedburner.google.com/fb/a/mailverify?uri=bituzi]「幣圖誌Bituzi電子報」[/url]

[font=Arial, 微軟正黑體, &quot][size=16px][b]天底下或許真有白吃的午餐，但在這些白吃的背後，必有其聰明的故事！[/b]
[b]仔細去研究，你會發現就是因為他人的"白癡"，[/b][b]造成市場資訊的不對稱，[/b][b]才讓聰明人有機會可以"白吃"套利！[/b]
[b]到底是白吃？ 還是白癡？傻傻分不清楚，我們下篇將繼續探討！[/b][/size][/font]

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