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波动率交易和波动率衍生工具 （Volatility trading and volatility derivatives ）
波动率交易和波动率衍生工具 （Volatility trading and volatility derivatives ）隐含波动率
Black-Scholes 公式中唯一不可观测的参数是波动率值 σ。通过输入估计的波动率值，我们可以得到期权价格。反之，给定期权的市场价格，我们可以反推出相应的 Black-Scholes 隐含波动率。
要求使用寻根算法来确定隐含波动率。
从同一标的资产的不同期权（不同的行权价和到期日）中同时得到的几个隐含波动率值提供了市场对资产价格随机波动的看法。
布莱克写道
"期权的价值与它在交易所的交易价格完全相等的情况很少见。......价值和价格之间的差异有三个原因：我们可能有正确的价值，而期权价格可能不一致；我们可能在 Black-Scholes 公式中使用了错误的输入；或者 Black-Scholes 可能是错误的。通常情况下，这三种原因都可以解释价值和价格之间的差异"。
极端观点： 市场价格是正确的（在流动性充足的情况下），人们应该围绕价格建立模型。
不同执行价格的波动率不同
股票期权--行权价越低波动率越高，行权价越高波动率越低
在市场下跌时，每个人都需要价外看跌期权作为保险，并会为较低执行价格的期权支付更高的价格。
股票基金经理做多价值数十亿美元的股票，并对其持有的股票卖出价外看涨期权，以此赚取额外收入。
商品期权--行权价越高波动率越大，行权价越低波动率越小
政府干预--不用担心价格大幅下跌。
短缺风险--价格没有上限。对较高执行价格期权的需求。
波动性微笑
利率期权--价内期权波动率低，两边波动率均较高 卖出价内期权，买入价外期权的倾向。
例如，在蝶式策略中，卖出两个价内期权，买入一个价外期权和一个价内期权。
不同时间的波动率
供求关系
当市场非常平静时，近月期权的隐含波动率通常低于远月期权。当市场剧烈波动时，情况通常正好相反。
在剧烈波动的市场中，每个人都希望或需要用伽马值来加载。近月期权提供了最多的伽马值，由此产生的买入压力会推高价格。
在平静的市场中，没有人希望投资组合中持有多头近月期权。
浮动波动率
随着股价的变动，整个偏斜曲线也会变动。
这是因为价外期权现在变成了价内期权。
举例说明
如果投资者做多某一期权，并认为市场会在股价上涨时以较低的波动率定价，那么他可能会向下调整 delta 值（因为波动率越低，价格升值越低）。
市场数据隐含的终端资产价格分布
在现实市场中，当资产价格较高时，波动率往往会下降，从而降低高资产价格实现的可能性。当资产价格较低时，波动率往往会增加，因此资产价格进一步下跌的可能性更大。
[img]http://p.algo2.net/2023/1111/833e743e1c6ca.png[/img]
实心曲线：市场数据隐含的分布
虚线曲线：理论对数正态分布
股价走势中的极端事件
股市回报率的概率分布通常是根据历史时间序列估算出来的。遗憾的是，普通假设可能无法捕捉到极端事件的概率，而且相关事件非常罕见，可能不会出现在历史记录中。
实例
1. 1987 年 10 月 19 日，两个月期的 S&P 500 指数期货价格下跌了 29%。在年化波动率为 20% 的对数正态假设下，这是一个标准差为 27 的事件，概率为 10.160（几乎不可能）。
2. 2. 1989 年 10 月 13 日，S & P 500 指数下跌约 6%，这是一个-5 标准差事件。根据维持不变的假设，这种情况应该在 14 756 年中才会发生一次。
87 年 10 月市场崩溃后，股指大幅下跌概率较高的市场行为为从业者所熟知。
1987 年股灾后，由于终端资产价格分布的左端（右端）尾部变粗（变细），看涨（看跌）期权的市场价格比 Black-Scholes 理论价格更便宜（更昂贵）。
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崩盘后微笑的典型模式。
隐含波动率相对于 X/S 下降。
理论波动率和隐含波动率
理论波动率
在对期权进行估值时，交易者的理论波动率是定价模型中的一个重要输入。
根据理论波动率进行交易的策略包括持有期权直至到期--这是期权使用者的常用策略。
市场隐含波动率
根据期权价格推断或隐含的波动率。
隐含波动率交易涉及在短时间内执行和扭转头寸。
初步步骤
总是有必要提供市场上可能没有的欧式期权行权价和到期日价格。这些价格通过内插法（数据范围内）或外推法（数据范围外）提供。
通过数据点绘制出一条平滑曲线（显示为 "交叉"）。从曲线上的虚线点可以读出给定行使价的估计隐含波动率。
[img]http://p.algo2.net/2023/1111/f97d01228bc62.png[/img]
与时间相关的波动率
给定不同期限的欧式看涨期权的市场价格（行权价均为 105，当前资产价格为 106.25，期 间短期利率持平于 5.6%），我们可以得出以下结论
[img]http://p.algo2.net/2023/1111/36caddf6ae273.png[/img]
将恒定波动率假设扩展为时间确定波动率 σ(t)。
除了用 [img]http://p.algo2.net/2023/1111/d35cfa6db540f.png[/img] 代替 σ 之外，Black-Scholes 公式对时间相关波动率仍然有效。
给定在时间 t* 测得的在时间 t 到期的欧式期权的隐含波动率，如何得到 σ(t)？
[img]http://p.algo2.net/2023/1111/27ceae167ae6f.png[/img]
这样
[img]http://p.algo2.net/2023/1111/cb9c4aaeb1de1.png[/img]
与 t 微分，我们得到
[img]http://p.algo2.net/2023/1111/184c57b175326.png[/img]
实际上，我们并没有一个连续可微分的隐含波动率函数[img]http://p.algo2.net/2023/1111/2d6f0897859a2.png[/img]，而是有离散时刻 t i 的隐含波动率。假设我们假设
σ(t) 在 [img]http://p.algo2.net/2023/1111/101e39ad6d4e4.png[/img] 上是片断常数，那么
[img]http://p.algo2.net/2023/1111/6055f9de25bfc.png[/img]
局部波动率曲面σ(S, t)
隐含波动率的时间依赖性可以转化为标的波动率的时间依赖性。
问题 我们能否从[img]http://p.algo2.net/2023/1111/e8976ac27abe3.png[/img]中推导出 σ(S,t)？
理论解答
假设有一个所有行使价和到期日的欧式看涨期权价格分布，用 V(X, T) 表示，那么我们可以根据当前资产价格[img]http://p.algo2.net/2023/1111/350a24599225f.png[/img]和当前时间[img]http://p.algo2.net/2023/1111/b279d046d7803.png[/img]，得到波动率与行使价和到期日的关系。
假设 S 的风险中性随机游走为
[img]http://p.algo2.net/2023/1111/e6f0b64c92d85.png[/img]。
隐含波动率树
隐含波动率树是一种二叉树，能为一组给定的输入期权正确定价。
隐含波动率树用于
1. 计算对给定期权市场有意义的对冲参数。
2. 为非标准期权和特殊期权定价。
隐含波动率树模型使用标的期权的所有隐含波动率--它根据所有隐含波动率推导出最佳的灵活二叉树（或三叉树）。
波动率交易
基于不同于当前市场价格的市场波动性观点进行的交易。这与头寸交易不同，头寸交易是基于对价格走向的预期进行交易。
例如
某只股票的交易价格为 100 美元。两笔一年期看涨期权的行使价分别为 100 美元和 110 美元，价格分别为 5.98 美元和 5.04 美元。
策略 看多便宜的 100 美元行使价期权，看空昂贵的 110 美元行使价期权。
波动率交易
短线交易者
对期权市场价格敏感。
这更像是一种投机性交易策略，只适用于流动性较强的期权市场，相对于隐含波动率变动的价差，交易头寸的成本较小。
长期参与者
如果交易者的理论价值高于隐含波动率，他就会买入期权，因为他认为期权的价值被低估了。
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市场数据： 股票价格 = 99 美元，看涨期权价格 = 5.46 美元，delta = 0.5
投资组合 A：50 股股票；[img]http://p.algo2.net/2023/1111/5edc715ebe3ae.png[/img]
投资组合 B：100 份看涨期权；[img]http://p.algo2.net/2023/1111/25975e74c0bf4.png[/img]
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实线：期权组合
虚线：股票投资组合
两个投资组合的 Delta 值相等。
由于期权价格曲线是向上凹的，看涨期权组合的表现总是优于 Delta 值等同的股票组合。
多头波动率交易
无论股价如何变动，持有者总能获利。
这就是多头波动率交易的本质。
通过再套期保值，人们被迫在市场上涨时卖出，在市场下跌时买入--进行与市场趋势相反方向的交易。
陷阱在哪里
期权在整个有效期内都会失去时间价值。
长期波动率策略
最初支付的价格与随后经历的波动率之间的竞争。如果支付的价格低而波动率高，多头波动率策略者将在总体上获胜。
Vega风险
Vega 的定义是波动率变化 1%引起的期权价格变化。
期限较短的期权对波动率输入的敏感度较低。
价内期权最为敏感，价外期权敏感度较低。
伽马交易和维加交易
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伽玛交易 从已实现的波动中获取净利润
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Vega 交易隐含波动率变化带来的净利润
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到期日和货币性
单个衍生品头寸能否从伽马和维加交易中获利，关键取决于衍生品账面的平均到期日和货币化程度。
对于价内期权，长期限期权显示出高 vega 值和低伽马值；短期限期权显示出低 vega 值和高伽马值。
对于价外期权，长期限期权显示较低的 vega 值和较高的 gamma 值，短期限期权显示较高的 vega 值和较低的 gamma 值。
基于伽玛和基于维加的波动率交易之间的平衡
1. 如果交易者希望获得高伽马值但零 vega 暴露，那么合适的头寸是大量到期日短的价内期权与少量到期日长的价内期权对冲。
2. 2. 如果交易者希望获得较高的 Vega 值，但伽马值为零，那么合适的头寸是用少量到期日较短的平价期权对冲大量到期日较长的平价期权。
多头伽玛--持有跨式期权
交易者认为当前价内期权的隐含波动率低于他的预期。
他可能会买入一个跨式期权：一个价内看涨期权和一个价内看跌期权的组合，以获得一个 Delta 中性的伽马头寸。
交易定价错误的期权
如果期权的隐含波动率为 15%，而经理认为未来的实际波动率会更高，比如 25%。如何获利？
他应该建立一个 Delta 中性的投资组合。
如果预测正确，他可以通过两种方式获利：
1. 市场上其他投资者开始认同他的预测，那么期权价格就会上涨。他通过平仓期权获利。
2. 市场继续以 15%的价格为期权定价。他保持投资组合的 delta 值中性（delta 值根据市场波动率计算）。他的再套期保值利润将超过时间衰减损失。
对数合约
结算价为对数 ST。对数合约在其有效期内的现值几乎等于
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其中，ISD 是对数合约价格中隐含的波动率，σ 是实现的波动率。
对数合约的优势
投资者需要简单的期权产品来交易对未来波动率的看法。对于对数合约来说
很容易进行 delta 对冲。做多一份对数合约的交易者可以通过做空价值 1 美元的标的资产进行 Delta 对冲。
delta 对冲 Log 合约的表现只取决于结果波动率，而不取决于套期保值者对波动率的预测。
动态策略是一种稳定策略，只取决于资产价格水平，而不取决于到期时间。
当进行 delta 对冲时，它是一种纯粹的波动率策略，与 delta 对冲期权不同。
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方差掉期合约
方差掉期合约的最终收益是
名义值 × （v - 行权价）
其中，v 是股票日收益率对数的已实现年化方差。
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方差掉期合约（续）
其中
n = 到期前的交易天数
N = 一年内的交易天数（252 天）
μ = 股票每日收益率对数的已实现平均值
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收益可能是正数，也可能是负数。
我们的目标是根据各种金融工具在交易日的价格，找出行使价的公允价格，使掉期的初始值为零。
请注意
[img]http://p.algo2.net/2023/1111/cfbd34c55a8c5.png[/img] **** Hidden Message *****
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