黄金分割与分形几何
一、无所不在的黄金分割黄金分割是我们在初中学习平面几何的时候就接触到的知识。设线段AB 长度为1，在上面取一点C 使得AC/BC = AB/AC ，C点被称为线段AB的“黄金分割”点。
设AC 部分长为X，则x/(1-x)=1/x，即x^2+x-1 =0 。解这个方程得：
x=(-1±√5)/2。因为X>0，所以x=(-1+√5)/2≈0.618，1/x=(1+√5)/2≈1.618
这两个数就是自然界普遍存在的“黄金分割”数。
《达芬奇密码》中反复提到的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……，其特点为数列中每一项为前两项之和，即
A(n+1)=A(n)+A(n-1),n≥2
这个数列广泛存在于自然界中。
树枝上的分枝数，大多数花的花瓣都是斐波那契数列中的数：例如百合为3，梅花5，桔梗常为8，金盞花13…等等，玫瑰更是按着斐波那契数列由内而外排列。斐波那契数列也出現在松果上。如上图右，一片片的鳞片在整粒松果上顺著两组螺旋线排列：一组呈顺时针螺旋，另一组为逆时针螺旋，顺时针螺旋的排列数目是８，而逆时针螺旋方向则为13。向日葵也是一样（上图左），常见的螺旋线数目为34 及55，较大的向日葵的螺旋线数目为89 及144，更大的甚至还有144 及233，這些全都是斐波那契数列中相邻两项的数值。
那么斐波那契数列和黄金分割有什么联系呢？用数列中任意一项比上前一项，1/1 = 1，2/1 = 2，3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666……, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538……我们发现项数越大，这个比值越接近黄金数1.618。
除了植物世界外，在动物世界甚至我们人体本身中，黄金分割更是不断地出现。从外观上看大多出现在动物的形体中。
人四肢后肢与前肢的比，身高与肚脐到腿之间距离的比，甚至手指每一节骨头与后面一节骨头的比，都接近黄金数1.618。芭蕾舞演员颠起脚尖跳舞，就是为了让身体的比例更接近黄金分割。小说中提到的达?芬奇作品《维特鲁维人》，就是他严格按照人体的黄金分割比例绘制成的。
黄金分割在自然界和人体中如此广泛地存在，因此成为人类潜意识中的审美标准，成为了人类艺术的宠儿。绘画和照片中如果把主要景物放在黄金分割位置，将给人一种最美的视觉感受。从古至今许多建筑有遵循着黄金分割的规律，包括金字塔的斜面三角形高与底面半边长之比，雅典神庙和巴黎圣母院的外观，甚至像东方明珠一样许许多多电视塔的观光层位置，都利用黄金分割比给人以美的享受。
黄金分割有一种几何上的自相似性，部分与部分的比等于部分与整体的比，等于整体与更大整体的比……20 世纪70 年代，数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）提出了“分形”的概念，用来描述自相似性，并首先引入了“分数维”的概念。
二、分形几何学
分形概念最早出现于Mandelbrot 对海岸线测量问题的研究中。
对于谋国家海岸线这种不规则图形，如果选取的测量尺度不一样，测量结果将相差甚远。当选择测量尺度很大时，细小的地方没有测量，得到的值会比较小。而用小尺度测量，得到的结果会大得多。用的尺度越小，得到的值将越大。也就是说，现实中这种复杂的不规则边界的图形，没有准确的周长。随着测量尺度的减小它的周长将趋于无穷。如果这种不规则边界呈现出一种小尺度和大尺度相似的特征，并且无限细分下去都存在这种自相似性，我们称这种几何形状为“分形”。
Koch 曲线就是在一个等边三角形一条边上截取中间1/3 边长，生成新的等边三角形，然后一直一层一层无限生成下去。
定量描述分形结构，需要引入“分数维”这个超越人类整数维思维的概念。我们知道，线的维度是一维，平面维度为二维，立体为三维，物理学中最有希望统一所有基本粒子及其相互作用的理论——超弦理论需要在更高维度的空间中建立，我们暂且不去讨论它。
就维度性质而言，1 维相对于2 维来说，是在一个维度上与其相同，在另一个维度上值为无限小，。因此在2 维平面内无限区域一条无限长的直线，他的维度是1。同理如果2 维平面内一个有限区域内一条线的维度为1，它必须是一个有限长的线段，这样才能保证它另一个维度值为无限小。那么如果一条无线长的线束缚在平面上一个有限的区域内，另一个维度的值不再是无限小，它的维度将大于1，但是这条无线长的线并没有填满一个平面，因此它的维度也小于2，一维分形就是这样一个束缚在有限平面区域内无限长的线，它的维度是介于1 和2 之间的分数维度。
分形维度计算法则：倍形法
这是计算分形维数一个最简单有效的方法，读者可以利用它来计算相对简单规则的分形维数。另S 为分形的一个层次结构单元边长，ε为上一层次分形结构长度和S 的比值，若令上一层次边长为单位长度1，则ε＝1/s， N（ε）为层次分形结构内包含边长S 层次结构单元的数目，那么分形维度的计算公式为：D=ln(N(ε))/ln(ε) 称为豪道夫数
三， “黄金分割”的分形解密
科学家们经过广泛计算，发现自然界的一维分形维度大多集中在1.6—1.7 附近，这让人很自然想起神秘的黄金分割率“1.618”。理论上讲，一维分形分数维度可以有无穷多个取值，但自然却唯独偏爱这些近似黄金分割的这些取值，这跟黄金分割本身又有什么内在联系呢？
黄金分割实际上是一种特殊的自相似结构，如果把一条线段AB 连接上它的黄金分割线段BC=0.618…×AB 排列，BC 再连接CD＝0.618…×BC，无限下去，用等比数列求和公式很容易证明，线段的总长度为AB 乘上黄金分数，即1.618…×AB。黄金分割充分体现了部分和整体“依次排列”的自相似性。
这种长边与短边比值是黄金数1.618…的矩形称为黄金矩形，是黄金分割自相似性最好的体现。矩形内截取掉一个正方形，剩下的小矩形仍然为黄金矩形。依次无限截取下去，会获得邻近边长比为黄金数，并且依次呈螺旋形排列的自相似正方形。如果将这些正方形内的1/4 圆弧连接起来，会构成一个平滑的自相似螺旋，即黄金螺旋。
黄金螺旋便是一个典型的一维分形，我们大致计算一下它的分形维度。用上节提到的取格法，将黄金矩形分成8×8＝64 个小的黄金矩形。一般情况下自然界的黄金螺旋有一定粗细，上面有更细微的分形结构，基本能占满它所经过的小格，因此将包含黄金螺旋和与之相切的方格都纳入其中，数得，N（ε）＝29，因此有一定粗细的黄金螺旋分形维度为
ln 29/ln8=1.619327....，很接近黄金数1.618。
生物界中螺旋形状大多为近似的黄金螺旋——如海螺壳，海马的尾巴，植物叶子，花和果实表面排列等等。
通过研究海螺发现，用一条直线穿过它的螺旋中心，这条直线上它的螺旋相邻圈粗细比值很接近黄金分割,那么为什么自然界中的螺旋倾向于选择黄金螺旋呢？我们从图10 的黄金矩形出发，将黄金矩形每一个小矩形沿对角线向外移动1/2 个边长，依次类推，如图12，这些黄金矩形会围成一个基本填满平面区域的螺旋，可证明，任何其他矩形以这种方式自相似排列，都会重叠或者在平面上留下很大缝隙。只有黄金矩形会趋向于排满平面。
黄金矩形的排列可看成黄金螺旋的离散化，如果将其收缩边缘连续起来，就会出现海螺的那种布满整个平面区域的黄金螺旋。也就是说，只有黄金螺旋这种“依次排列”的自相似才会占满平面区域。伸出自己的左手与纸面垂直，然后握拳，看一下你的食指围成的螺旋是不是和图12 很像？人体众多骨骼之所以被各个关节黄金分割，正是由于这些骨骼能够围成这种螺旋形状。
人体处于黄金分割的关节都是能够蜷缩的位置，如手指骨节，肘部，膝盖，颈部，腰腹等等（身体蜷缩时候，蜷缩点位于人体黄金分割——肚脐处），许多哺乳动物关节都具有这种特点，这都是生物经过几十亿年进化的结果，能让身体和四肢完全地蜷缩来抓住东西和自我保护，因此生物界选择了这种没有缝隙的蜷缩——黄金螺旋。
将一个圆周进行黄金分割，它的短弧所对应的角度成为“黄金角”，即360×（1－0.618…）≈137.5° 将黄金螺旋上取距离相等的一系列点，发现点于点连线之间的夹角(发散角)都为黄金角。计算机模拟结果可看出，发散角为137.4°和137.6°的螺旋都无法填满平面，而恰好发散角为137.5°的黄金螺旋可以填满平面，做到点于点之间距离相等。向日葵和菊花都满足这样的排布，这样可以使单位面积内花瓣或种子排列数目最多。
除了黄金螺旋之外，生物界其他的分形大多遵循黄金分割原则，其分形维数也很接近黄金数1.618… 如树的生长。按照黄金分割比例生长树枝和树叶，会使单位面积接收到最多的阳光，其原理与黄金螺旋相似，即能够布满平面的分形结构。
从上面几个例子的分析可以看出，“黄金分割”这种分形是生物进化的一个“极值”，是生物界自然选择的结果。目前的研究发现，不仅仅是生物界，在自然界很多领域都存在这种自相似倍数为黄金数的分形，诸如一些准晶体结构，高分子，太阳系间行星距离，海浪漩涡等等，都是黄金螺旋分形。
分形大多以黄金分割为原则这是自然界的重要现象。
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